地球自转与气候动力学——振荡理论^*

刘式适　刘式达　傅遵涛　辛国君

摘要　考虑地球自转速率随时间的变化，并应用描写低纬地球流体(大气和海洋)的水平运动方程，分析了地球自转速率变化对低纬大气和海洋振荡的影响．研究指出：地球自转速率的变化不但会直接影响低纬大气和海洋的振荡周期和振幅，而且会影响纬向风和洋流的变化，从而导致海温和海平面的变化．所以，地球自转速率的变化是影响全球气候变化的重要因素之一．
关键词　地球自转速率，气候变化，大气和海洋的振荡．

1　引言

　　由于来自地球内外的多种物理因素的作用，地球自转速率并不是恒定的，它存在多种时间尺度的变化^［1］．地球自转速率的变化必然要对地球本身、地球大气和地球海洋的运动产生影响．近10年来，郑大伟^［2—6］、任振球^［7—9］、钱维宏^{［10—12］}等较详细地研究了地球自转速率变化对地震、大气和海洋活动的影响，使人们开始对地球自转速率变化所产生的全球影响更为重视，并且成为地球动力学的一个重要研究领域．
　　本文从动力学角度探讨地球自转速率变化对低纬大气和海洋振荡的影响，着重说明地球自转速率变化是形成低纬长周期振荡的重要因素之一，因而必然也是形成全球气候变化的重要因素之一．至于大气和海洋振荡对地球自转变化的影响，本文不作讨论．

2　基本方程

　　考虑地球自转角速度Ω随时间t的变化，则描写大气和海洋的水平运动方程可以写为^［11］

式中ψ为纬度，a为地球平均半径，f＝2Ωsinψ为Coriolis参数，p和ρ分别为压强和密度．x和y分别为向东和向北的坐标，相应的流体速度分别为和
　　在方程组(1)中，即是由于地球自转速率的变化，通过固体地球与大气或海洋流体之间的角动量交换所产生的对大气或海洋流体的附加作用力，而分别表示固体地球对大气和对海洋的作用系数．研究表明^［11］：在季-年这一时间尺度上，附加作用力与Coriolis力(fv，－fu)有相同的量级．
　　由于低纬地区物理量沿纬圈的变化较小，又应用赤道β平面近似

f＝β₀y，

其中β₀为Rossby参数(常数)．这样，水平运动方程组(1)可以改写为

这里，已经取cos≈1．设

Ω＝0＋Ω′，

(5)

其中Ω₀为Ω的平均值，它不随时间变化；Ω′为Ω相对平均值的偏差，这里重点考察的年变化．Ω′为正，表示地球自转加快；Ω′为负，表示地球自转减慢．
　　(5)式代入方程组(4)的第一式，注意，则方程组(4)的第一式对时间积分得到

其中u^*₀为积分常数，它就是低纬单位质量地球流体(大气或海洋)的角动量，(6)式即为低纬地球流体的角动量守恒定律．u^*₀完全由初始条件决定．若取初始条件为

(x，y,u，v，Ω′)_t＝0＝(x₀，y₀，u₀，0，0)．

(7)

则由(6)式可得

需要指出的是：取Ω′|_t＝0＝0，意味着在初始时刻Ω＝Ω₀，即的变化都是相对Ω₀而言．
　　(6)式代入方程组(4)的第(2)式，得到

(9)

这里讨论低纬大气和海洋振荡的基本方程，其中表示压力场的影响，而(10)

3　无压力场影响时的振荡

　　在方程(9)中，令F(y)＝0，这意味着不考虑压力场的影响．此时，方程(9)化为

(11)

若视ω²₀为常数，方程(11)就是无耗散和无强迫的Duffing方程^［13］．Duffing方程是非线性方程，先求其线性方程的解，然后再求Duffing方程(11)的解．
3.1　线性情况
　　此时，略去方程(11)左端的非线性项，则得

这是y的二阶线性微分方程．显然，只有当ω²₀＞0时，方程(12)才有振动解．由(10)式看到，ω²₀＞0要求

这意味着：在低纬地区，通常地球流体只有存在一定强度的自西向东的流速时，才存在线性振荡，而且振动圆频率为

相应的振荡周期为

显然，如不考虑地球自转速率的变化，相应的振荡圆频率和周期分别为

显然有

这表明：地球自转加快时，低纬线性振荡周期增大，若α₀aΩ′≥u^*₀，线性振荡被破坏；地球自转减慢时，低纬线性振荡周期减小．
3.2　非线性情况
　　此时，方程(11)不只是在ω²₀＞0时有振荡解，在ω²₀＝0和ω²₀＜0时也存在振荡解．分两种情况
3.2.1　ω²₀≥0
　　由(10)式知，此时

而且Duffing方程(11)的解为

其中cn表示Jacobi椭圆余弦函数，ω₁为圆频率，满足

而模数k₁满足

由(20)式和(21)式，显然有

(19)式表征y是一种非线性振动，其振动周期为

其中K(k₁)为第一类Legendre完全椭圆积分，即

在k₁＝0时，K(0)＝π/2，ω₁＝ω₀，则(23)式退化为线性情况的(15)式；在时，
而在线性情况下，ω²₀＝0时，方程(12)不存在周期解．
　　在非线性的ω²₀≥0的情况，若不考虑自转速率的变化，其模数k₀应满足

相应的圆频率和周期分别满足

因为Ω′＞0时，Ω′＜0时，因而有

这表明：如地球自转加快，低纬非线性振荡周期也增大；如地球自转减慢，低纬非线性振动周期也减小．这与线性振动情况相似．
　　从(24)式看到，随着模数k₁的增大(减小)，K(k₁)的数值也相应增大(减小)．从(21)式和(23)式可知，必然也造成周期和振幅的增减．所以，地球自转加快时，低纬非线性振动的振幅增大；而地球自转减慢时，低纬非线性振动的振幅减小．
　　由(19)式求得经向速度为

v＝－y₀ω₁snω₁t^.dnω₁t，

(28)

式中sn表示Jacobi椭圆正弦函数，dn表示第三类Jacobi椭圆函数．
　　将(19)式代入(6)式，求得纬向速度为

上式说明纬向速度也作周期变化，而且u的数值直接与地球自转速率的变化有关：当地球自转减慢时(Ω′＜0)，u增大；当地球自转加快时(Ω′＞0)，u减小．这与郑大伟^［2］和钱维宏^［11］的数值计算是一致的．钱维宏^［11］通过数值模拟还发现：地球自转变化首先引起纬向风速的异常，然后通过风应力引起纬向洋流和海温的异常．
3.2.2 ω²₀＜0
　　由(10)式知，此时

显然，这是在线性条件下不可能存在振动解的情况，但在非线性情况下却存在振动解．不难证明：在此情况下，当

时，Duffing方程(11)的解仍然是(19)式，相应的圆频率仍满足(20)式，模数k₁满足(21)式．不过，此时

即扩大了模数k₁的范围．而此时(27)式依然成立．
　　由于随着k₁的增大(k₁的最大值为1)，K(k₁)的数值也将增大，因而由(23)式所表征的周期值也将增加．当

时，

因而

k₁＝1．

此时，解(19)退化为

y＝y₀sechω₁t．

因为k₁＝1时，K(1)→∞，因而

该式说明：当地球自转速率的偏差Ω′达到(33)式的近似平衡时，此时的非线性振动周期变得非常大，甚至于出现周期为无穷大的孤立子振动。事实上，气候演变是多尺度的，只能在一定的时间层次上谈气候变化．气候系统也存在各种时间尺度的振荡^［14］，小的为短期气候振荡(周期为季、年、10年)，大的为超长期气候振荡(周期为百年、千年、甚至更长)．所以，在(33)式的条件下出现的周期为无穷大的振荡应该接近于气候的超长期振荡．由此可以推断，在一定条件下地球自转速率的变化可以影响地球大气和海洋的长时间变化，从而对气候的超长期变化产生影响．
　　由(36)式，求得此时的经向速度为

v＝－y₀ω₁tanhω₁t^.sechω₁t,

(36)式代入(6)式，求得纬向速度为

此式可作类似于(29)式的分析．
　　对于ω²₀＜0，而且

时，Duffing方程(11)的解为

y＝y₀dnω₂t，

其中圆频率ω₂满足

而模数k₂满足

(43)

显然，由上式和(40)式知

0≤k₂＜1．

(44)

(41)式表征的也是一种非线性振动，其振动周期为

(45)

当k₂＝0时，u₀＝α₀aΩ′，(40)式退化为

y＝y₀，

(46)

这是一个定常解；当k₂→1时，，因而(41)式退化为

y＝y₀sechω₂t．

(47)

这实际上就是解(36)．
由(41)式求得经向速度为

(41)式代入(6)式，求得纬向速度为

　　从(29)，(39)和(49)式，都可以看到，地球自转速率的变化直接影响大气中的纬向风速和海洋中的纬向洋流的变化．而且，当地球自转减慢时，低伟大气中的西风和海洋中的向东洋流都得到加强，通过风吹流使低纬东太平洋的海温和海面都升高，从而促使EL Nino现象形成；相反，当地球自转加快时，低纬大气中的西风和海洋中的向东洋流都受到削弱，通过风吹流使低纬东太平洋的海温和海面都减低，从而促使La Nino现象形成．地球自转速率的变化也直接影响大气和海洋的内部振荡，在一定条件下还可以形成超低频振荡，从而影响全球的气候演变．这些结论与郑大伟、钱维宏、任振球等人的分析一致．反之，低纬度纬向风和纬向洋流的变化和地球流体内部的振荡也会影响地球自转速率的变化．

4　考虑压力场影响时的振荡

　　为了简化，假设低纬压力场关于y是对称的，即设

F(y)＝a₁y＋a₃y³．

事实上，低纬的理论分析^［15］表明，在最简单的情况下，有

其中p₀是赤道(y＝0)上的流体压强(极值)，而

是低纬正压Rossby变形半径．(g是重力加速度，H为地球流体的标高)．在时，(51)式可改写为

上式右端取前三项，则求得

(50)式与(54)式比较有

(50)式代入方程(9)，得到

其中

ω²_a＝ω²₀－a₁,　β²_a＝β²₀－2a₃.

方程(56)是考虑压力场影响时的低纬振荡的Duffing方程，其形式同方程(11)，只是ω²₀和β²₀分别被ω²_a和β²_a所代替．

5　结论

　　本文从振荡理论的观点出发，分析了地球自转速率的变化对低纬大气和海洋运动的影响．结果表明：地球自转速率的变化可以影响大气和海洋运动的长时间变化．而且通过纬向风和洋流的变化，导致海温和海平面的变化．当地球自转减慢时，可以导致ELNino现象的形成．所以，地球自转速率的变化是影响全球气候变化的一个重要因素．

*国家攀登项目(970231003).
作者简介：刘式适，男，1938年4月生，1962年毕业于北京大学物理系．现为北京大学地球物理系教授、博士生导师．长期致力于地球、大气动力学和非线性动力学的研究．
作者单位：北京大学地球物理学系，北京100871

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